Формулы приведения sin 150. Формулы приведения тригонометрических функций
Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!
Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.
Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.
Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:
– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.
И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.
Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?
Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:
угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов
* * *
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:
1. Определите знак функции в соответствующей четверти.
Напомню их:
2. Запомните следующее:
функция изменяется на кофункцию
функция на кофункцию не изменяется
Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?
Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.
Вот и всё!
Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:
Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:
Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:
Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.
***
В статье на решение был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.
Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.
Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.
Сначала запишем все формулы приведения:
Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:
Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:
Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить
Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.
Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:
- Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
- Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
- Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.
Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:
1. ` cos(\pi + \alpha)`.
Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .
Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`
2. `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)`.
Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac {3\pi}2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .
Ответ: `sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)= — cos \alpha`
3. `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)`.
`cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {6\pi}2+\frac {\pi}2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac{\pi}2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.
Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.
Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.
Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.
Лошадиное правило
Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?
Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.
Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.
То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂
Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.
Практические примеры использования формул приведения
Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:
- задачи на решение прямоугольного треугольника;
- преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
- стереометрические задачи.
Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac{\sqrt 3}3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac{\sqrt 3}2`;
г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac{\sqrt 3}2`.
Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.
Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`
`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`
`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`
`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.
2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`
`sin \frac {\pi}8 `sin \frac {\pi}8 Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них. Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`. Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно. А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`. С центром в точке A
. Определение
Косинус (cos α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|. ;
;
Функции y = sin
x
и y = cos
x
периодичны с периодом 2
π
.
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная. Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
(см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n
- целое). ;
;
;
.
При ,
имеем: При : В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. ;
;
.
Вывод формул > > > Производные n-го порядка: Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно. Использованная литература: Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Что будем изучать:
Повторение тригонометрических функций
Ребята, с формулами привидения вы уже сталкивались, но так их еще не называли. Как думаете: где? Посмотрите на наши рисунки. Правильно, когда вводили определения тригонометрических функций. Давайте введем основное правило: Если под знаком тригонометрической функции содержится число вида π×n/2 + t, где n – любое целое число, то нашу тригонометрическую функцию можно привести к более простому виду, которая будет содержать только аргумент t. Такие формулы и называют формулами привидения.
Вспомним некоторые формулы: формул привидения очень много, давайте составим правило по которому будем определять наши тригонометрические функции при использовании формул привидения
: Эти правила применимы и когда аргумент функции задан в градусах! Так же мы можем составить таблицу преобразований тригонометрических функций: 1.Преобразуем cos(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим cos(t). Далее предположим, что π/2
2. Преобразуем sin(π/2 + t). Наименование функции изменяется, т.е. получим cos(t). Далее предположим что 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Преобразуем tg(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0
4. Преобразуем ctg(270 0 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0
Ребята, преобразуйте самостоятельно, используя наши правила: 1) tg(π + t), Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул. Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу. Yandex.RTB R-A-339285-1
Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π 2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии. Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов. Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения. Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов. запишем все формулы в виде таблицы. Формулы приведения
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α В данном случае формулы записаны с радианами. Однако можно записать их и с использованием градусов. Достаточно только перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов. Покажем, как пользоваться формулами приведения и как указанные формулы применяются при решении практических примеров. Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а множеством способов. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен в видах ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Продемонстрируем это. Возьмем угол α = 16 π 3 . Это угол можно записать так: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π · 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π · 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения. Возьмем тот же угол α = 16 π 3 и вычислим его тангенс Пример 1. Использование формул приведения
α = 16 π 3 , t g α = ? Представим угол α = 16 π 3 в виде α = π + π 3 + 2 π · 2 Этому представлению угла будет соответствовать формула приведения t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π · 2 = t g π 3 Воспользовавшись таблицей, укажем значение тангенса Теперь используем другое представление угла α = 16 π 3 . Пример 2. Использование формул приведения
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π · 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π · 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Наконец, для третьего представления угла запишем Пример 3. Использование формул приведения
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Теперь приведем пример на использование формул приведения посложнее Пример 4. Использование формул приведения
Представим sin 197 ° через синус и косинус острого угла. Для того, чтобы можно было применять формулы приведения, нужно представить угол α = 197 ° в одном из видов ± α + 360 ° · z , 90 ° ± α + 360 ° · z , 180 ° ± α + 360 ° · z , 270 ° ± α + 360 ° · z . Согласно условию задачи, угол должен быть острым. Соответственно, у нас есть два способа для его представления: 197 ° = 180 ° + 17 ° 197 ° = 270 ° - 73 ° Получаем sin 197 ° = sin (180 ° + 17 °) sin 197 ° = sin (270 ° - 73 °) Теперь посмотрим на формулы приведения для синусов и выберем соответствующие sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° · z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° · z) = - cos 73 ° Формул приведения много, и, к счастью, нет необходимости заучивать их наизусть. Существуют закономерности, по которым можно выводить формулы приведения для разных углов и тригонометрических функций. Эти закономерности называются мнемоническим правилом. Мнемоника - искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа. Мнемоническое правило
1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Угол α должен лежать в пределах от 0 до 90 градусов. 2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Такой же знак будет иметь функция, записываемая в правой части формулы. 3. Для углов ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz название исходной функции остается неизменным, а для углов π 2 ± α + 2 πz и 3 π 2 ± α + 2 πz соответственно меняется на "кофункцию". Синус - на косинус. Тангенс - на котангенс. Чтобы пользоваться мнемоническим праилом для формул приведения нужно уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Разберем примеры применения мнемонического правила. Пример 1. Использование мнемонического правила
Запишем формулы приведения для cos π 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz . α - улог первой четверти. 1. Так как по условию α - улог первой четверти, мы пропускаем первый пункт правила. 2. Определим знаки функций cos π 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz . Угол π 2 - α + 2 πz также является углом первой четверти, а угол π - α + 2 πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Согласно третьему пункту для угла π 2 - α + 2 π название функции изменяется на конфуцию, а для угла π - α + 2 πz остается прежним. Запишем: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α А теперь заглянем в формулы, приведенные выше, и убедимся в том, что мнемоническое правило работает. Рассмотрим пример с конкретным углом α = 777 ° . Приведем синус альфа к тригонометрической функции острого угла. Пример 2. Использование мнемонического правила
1. Представим углол α = 777 ° в необходимом виде 777 ° = 57 ° + 360 ° · 2 777 ° = 90 ° - 33 ° + 360 ° · 2 2. Исходный угол - угол первой четверти. Значит, синус угла имеет положительный знак. В итоге имеем: 3. sin 777 ° = sin (57 ° + 360 ° · 2) = sin 57 ° sin 777 ° = sin (90 ° - 33 ° + 360 ° · 2) = cos 33 ° Теперь рассмотрим пример, который показывает, как важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Повторим еще раз. Важно!
Угол α должен быть острым! Вычислим тангенс угла 5 π 3 . Из таблицы значений основных тригонометрических функций можно сразу взять значение t g 5 π 3 = - 3 , но мы применим мнемоническое правило. Пример 3. Использование мнемонического правила
Представим угол α = 5 π 3 в необходимом виде и воспользуемся правилом t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Если же представить угол альфа в виде 5 π 3 = π + 2 π 3 , то результат применениея мнемонического правила будет неверным. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Неверный результат обусловлен тем, что угол 2 π 3 не явдяется острым. Доказательство формул приведения основывается на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвига на углы π 2 и 3 π 2 . Доказательство справедливости всех формул приведения иожно проводить без учета слагаемого 2 πz , так как оно обозначает изменение угла на целое число полных оборотов и как раз отражает свойство периодичности. Первые 16 формул следуют напрямую из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котанганса. Приведем доказательство формул приведения для синусов и косинусов sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = - sin α Посмотрим на единичную окружность, начальная точка которой после повоторота на угол α перешла в точку A 1 x , y , а после поворота на угол π 2 + α - в точку A 2 . Из обеих точек проведем перпендикуляры к оси абсцисс. Два прямоугольных треугольника O A 1 H 1 и O A 2 H 2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и равенства треугольников можно сделать вывод о том, что точка A 2 имеет координаты A 2 - y , x . Используя определения синуса и косинуса, запишем: sin α = y , cos α = x , sin π 2 + α = x , cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α , cos π 2 + α = - sin α С учетом основных тождеств тригонометрии и только что доказанного, можно записать t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α Для доказательства формул приведения с аргументом π 2 - α его необходимо представить в виде π 2 + (- α) . Например: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α В доказательстве используются свойства тригонометрических функций с аргументами, противоположными по знаку. Все остальные формулы приведения можно доказать на базе записанных выше. Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.
α
- угол, выраженный в радианах.
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.Принятые обозначения
;
.
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Четность
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
y = sin
x
y = cos
x
Область определения и непрерывность
- ∞ < x < + ∞
- ∞ < x < + ∞
Область значений
-1
≤ y ≤ 1
-1
≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
y = 0
y = 1
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
; Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
.
Выражение через тангенс
;
.
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
Производные
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.Урок и презентация на тему: "Применение формул приведения при решении задач"
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
1С: Школа. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
1С: Школа. Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве для 10–11 классов
1. Немного повторим.
2. Правила для формул приведения.
3. Таблица преобразований для формул приведения.
4. Примеры.
Правило для формул приведения
3π/2 + t и 3π/2 - t, то функция изменится на родственную, т. е. синус станет косинусом, котангенс станет тангенсом.
Примеры применения формул приведения
Задачи с формулами приведения для самостоятельного решения
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).Формулы приведения. Список
Примеры использования формул приведения
Мнемоническое правило
