Как строить прямую на координатной плоскости. Координатная прямая

Прямая вполне определена, если известны две принадлежащие ей точки. Для того чтобы построить прямую по ее уравнению, надо, пользуясь этим уравнением, найти координаты двух ее точек. Твердо следует помнить, что если точка принадлежит прямой, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой.

При практическом построении прямой по ее уравнению наиболее точный график получится тогда, когда координаты взятых для ее построения двух точек - целые числа.

1. Если прямая определена общим уравнением Ax + By + C = 0 и , то для ее построения проще всего определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Укажем, как определить координаты точек пересечения прямой с координатными осями. Координаты точки пересечения прямой с осью Ox находят из следующих соображений: ординаты всех точек, расположенных на оси Ox , равны нулю. В уравнении прямой полагают, что y равно нулю, и из полученного уравнения находят x . Найденное значение x и есть абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox . Если окажется, что x = a , то координаты точки пересечения прямой с осью Ox будут (a , 0).

Чтобы определить координаты точки пересечения прямой с осью Oy , рассуждают так: абсциссы всех точек, расположенных на оси Oy , равны нулю. Взяв в уравнении прямой x равным нулю, из полученного уравнения определяют y . Найденное значение y и будет ординатой пересечения прямой с осью Oy . Если окажется, например, что y = b , то точка пересечения прямой с осью Oy имеет координаты (0, b ).

Пример. Прямая 2x + y - 6 = 0 пересекает ось Ox в точке (3, 0). Действительно, взяв в этом уравнении y = 0, получим для определения x уравнение 2x - 6 = 0, откуда x = 3.

Чтобы определить точку пересечения этой прямой с осью Oy , положим в уравнении прямой x = 0. Получим уравнение y - 6 = 0, из которого следует, что y = 6. Таким образом, прямая пересекает координатные оси в точках (3, 0) и (0, 6).

Если же в общем уравнении прямой C = 0, то прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Таким образом, уже известна одна ее точка, и для построения прямой остается только найти еще одну ее точку. Абсциссу x этой точки задают произвольно, а ординату y находят из уравнения прямой.

Пример. Прямая 2x - 4y = 0 проходит через начало координат. Вторую точку прямой определим, взяв, например, x = 2. Тогда для определения y получаем уравнение 2*2 - 4y = 0; 4y = 4; y = 1. Итак, прямая 2x - 4y = 0 проходит через точки (0, 0) и (2, 1).

Если прямая задана уравнением y = kx + b с угловым коэффициентом, то из этого уравнения уже известна величина отрезка b , отсекаемого прямой на оси ординат, и для построения прямой остается определить координаты еще только одной точки, принадлежащей этой прямой. Если в уравнении y = kx + b , то легче всего определить координаты точки пересечения прямой с осью Ox . Выше было указано, как это сделать.

Если же в уравнении y = kx + b b = 0, то прямая проходит через начало координат, и тем самым уже известна одна принадлежащая ей точка. Чтобы найти еще одну точку, следует дать x любое значение и определить из уравнения прямой значение y , соответствующее этому значению x .

Пример. Прямая проходит через начало координат и точку (2, 1), так как при x = 2 из ее уравнения .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то угол между ними определяется по формуле

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

угол между ними определяется по формуле

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Утверждать, что вы знаете математику, невозможно, если вы не умеете строить графики, изображать неравенства на координатной прямой, работать с осями координат. Визуальная составляющая в науке жизненно необходима, ведь без наглядных примеров в формулах и вычислениях порой можно сильно запутаться. В данной статье мы посмотрим, как работать с осями координат, и научимся строить простейшие графики функций.

Применение

Координатная прямая - это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.

Главная ценность такой прямой - это наглядность. Поскольку математика - это наука, в которой требуется высокий уровень абстрактности мышления, графики помогают в представлении объекта в реальном мире. Как он себя ведет? В какой точке пространства будет находиться через несколько секунд, минут, часов? Что можно сказать о нём в сопоставлении с другими объектами? Какой скоростью он обладает в случайно выбранный момент времени? Как охарактеризовать его движение?

А про скорость речь идёт неспроста - именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.

Одномерный график

Существует понятие многомерности. В достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.

Что можно увидеть с помощью точек на оси, если она всего одна? Можно увидеть размер объекта, его положение в пространстве относительно некоторого «нуля», т. е. точки, выбранной в качестве начала отсчёта.

Изменение параметров с течением времени увидеть не удастся, так как все показания будут отображаться для одного конкретного момента. Однако с чего-то надо начинать! Итак, приступим.

Как построить координатную ось

Для начала требуется провести горизонтальную линию - это и будет наша ось. С правой стороны «заострим» её, чтобы она была похожа на стрелку. Таким образом мы обозначим направление, в котором числа будут увеличиваться. В сторону уменьшения стрелка обычно не ставится. Традиционно ось направлена вправо, поэтому мы просто последуем данному правилу.

Поставим нулевую отметку, которая будет отображать начало координат. Это то самое место, от которого ведется отсчёт, будь то размер, вес, скорость или что угодно другое. Кроме нуля, мы обязательно должны обозначить так называемую цену деления, т. е. ввести стандарт единицы, в соответствии с которой будем откладывать на оси те или иные величины. Это обязательно нужно делать, чтобы уметь находить длину отрезка на координатной прямой.

Через равное расстояние друг от друга поставим точки или «зарубки» на линии, а под ними напишем соответственно 1,2,3 и так далее. И вот, всё готово. Но с получившимся графиком надо ещё научиться работать.

Виды точек на координатной прямой

С первого взгляда на предложенные в учебниках рисунки становится понятно: точки на оси могут быть закрашенные или не закрашенные. Вы думаете, это случайность? Вовсе нет! «Сплошная» точка используется при нестрогом неравенстве - том, которое читается как «больше или равно». Если же нужно строго ограничить интервал (например, «икс» может принимать значения от нуля до единицы, но не включает её), мы воспользуемся «полой» точкой, то есть, по сути, маленьким кружком на оси. Надо заметить, что ученики не очень любят строгие неравенства, потому что с ними сложнее работать.

В зависимости от того, какие точки вы используете на графике, будут называться и построенные интервалы. Если неравенство с двух сторон нестрогое, то мы получим отрезок. Если с одной стороны он окажется «открыт», то называться будет полуинтервалом. Наконец, если часть прямой ограничена с двух сторон полыми точками, она будет называться интервалом.

Плоскость

При построении двух прямых на мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная - расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.

Простейший график на такой плоскости - прямая, она отражает функцию Y(X) = aX + b. Линия изгибается? Это означает, что объект меняет свои характеристики в процессе исследования.

Представьте, вы стоите на крыше здания и держите в вытянутой руке камень. Когда вы отпустите его, он полетит вниз, начав своё движение с нулевой скорости. Но уже через секунду он будет преодолевать 36 километров в час. Камень продолжит ускоряться и дальше, и чтобы нарисовать его движение на графике, вам потребуется замерить его скорость в несколько моментов времени, выставив точки на оси в соответствующих местах.

Отметки на горизонтальной координатной прямой по умолчанию получают название X1, X2,X3, а на вертикальной - Y1, Y2,Y3 соответственно. Проецируя их на плоскость и находя пересечения, мы находим фрагменты результирующего рисунка. Соединив их одной линией, мы получим график функции. В случае с падающим камнем квадратичная функция будет иметь вид: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Конечно, не обязательно выставлять рядом с делениями на прямой целочисленные значения. Если вы рассматриваете движение улитки, которая ползет со скоростью 0,03 метра в минуту, выставьте в качестве значений на координатной прямой дроби. В данном случае задайте цену деления как 0,01 метра.

Особенно удобно выполнять такие чертежи в тетради в клетку - здесь сразу видно, хватит ли места на листе для вашего графика, не выйдете ли вы за поля. Свои силы рассчитать несложно, ведь ширина клетки в такой тетради - 0,5 сантиметра. Понадобилось - уменьшили рисунок. От изменения масштаба графика он не потеряет и не изменит своих свойств.

Координаты точки и отрезка

Когда на уроке дается математическая задача, в ней могут содержаться параметры различных геометрических фигур как в виде длин сторон, периметра, площади, так и в виде координат. В этом случае может потребоваться как построить фигуру, так и получить какие-то данные, связанные с ней. Возникает вопрос: как найти на координатной прямой требуемую информацию? И как построить фигуру?

Например, речь идёт о точке. Тогда в условии задачи будет фигурировать заглавная буква, а в скобках будут стоять несколько цифр, чаще всего две (это значит, считать мы будем в двухмерном пространстве). Если в скобках три числа, записанные через точку с запятой или через запятую, то это трехмерное пространство. Каждое из значений - это координата на соответствующей оси: сначала по горизонтальной (X), затем - по вертикальной (Y).

Помните, как построить отрезок? Вы проходили это на геометрии. Если есть две точки, то между ними можно провести прямую. Их-то координаты и указываются в скобках, если в задаче фигурирует отрезок. Например: A(15, 13) - B(1, 4). Чтобы построить такую прямую, нужно на координатной плоскости найти и отметить точки, а затем их соединить. Вот и всё!

А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.

Расчёты

Допустим, есть некоторый объект, положение которого по оси X характеризуется двумя числами: начинается он в точке с координатой (-3) и заканчивается в (+2). Если мы хотим узнать длину этого предмета, то должны вычесть из большего числа меньшее. Обратите внимание, что отрицательное число поглощает знак вычитания, потому что «минус на минус даёт плюс». Итак, мы складываем (2+3) и получаем 5. Это и есть требуемый результат.

Другой пример: нам дана конечная точка и длина объекта, но не дана начальная (и требуется её найти). Пусть положение известной точки будет (6), а размер изучаемого предмета - (4). Вычитая длину из конечной координаты, мы получим ответ. Итого: (6 - 4) = 2.

Отрицательные числа

Нередко требуется на практике работать с отрицательными значениями. В этом случае мы будем уходить по оси координат влево. Например, объект высотой 3 сантиметра плавает в воде. На треть он погружен в жидкость, на две трети находится на воздухе. Тогда, выбрав в качестве оси поверхность воды, мы с помощью простейших арифметических вычислений получаем два числа: верхняя точка объекта имеет координату (+2), а нижняя - (-1) сантиметр.

Нетрудно заметить, что в случае с плоскостью у нас образуется четыре четверти координатной прямой. Каждая из них имеет свой номер. В первой (верхней правой) части будут располагаться точки, имеющие две положительные координаты, во второй - слева сверху - значения по оси «икс» будут отрицательные, а по «игрек» - положительные. Третья и четвертая отсчитываются дальше против часовой стрелки.

Важное свойство

Вы знаете, что прямую можно представить как бесконечное множество точек. Мы можем просмотреть сколь угодно внимательно любое количество значений в каждую сторону оси, но не встретим повторяющихся. Это кажется наивным и понятным, но проистекает то утверждение из важного факта: каждому числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.

Заключение

Помните, что любые оси, фигуры и по возможности графики необходимо строить по линейке. Единицы измерений были придуманы человеком не случайно - допустив погрешность при черчении, вы рискуете увидеть уже не то изображение, которое должно было получиться.

Будьте внимательны и аккуратны в построении графиков и вычислениях. Как и любая наука, изучаемая в школе, математика любит точность. Приложите немного старания, и хорошие оценки не заставят себя долго ждать.

Применение

Одномерный график

Существует понятие многомерности. В одномерном пространстве достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.

Как построить координатную ось

Виды точек на координатной прямой

Плоскость

При построении двух прямых на координатной плоскости мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная - расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.

Масштаб

Координаты точки и отрезка

А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.

Расчёты

Отрицательные числа

Важное свойство

Заключение

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую - перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 - 4 Or x - 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c - график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) - c - график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) - график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x - c) - график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x - 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x - 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x - 3| + 2

Постройте график

y = x 2 - 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x - 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 - 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Основные сведения о координатной плоскости

Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.

Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .

Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.

Определение 1

Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.

Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.

Координатная плоскость

Координаты точки

Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.

Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.

Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.

Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.

Построение точки по заданным координатам

Пример 1

На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$

Решение .

Построение точки $A$:

отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.

Построение точки $B$:

отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.

Пример 2

Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.

Решение .

Построение точки $C$:

отложим число $3$ на оси $x$;
координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.

Построение точки $D$:

отложим число $2$ на оси $y$;
координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.

Замечание 1

Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.

Пример 3

Определить координаты точек A, B, C, D.$

Решение .

Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$

Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$

Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.

Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$

Пример 4

Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Решение .

Построение точки $E$:

отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$

Построение точки $F$:

координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$

Построение точки $G$:

отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).$

Построение точки $H$:

координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$

Построение точки $O$:

обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).