Оформление примеров на доказательство тригонометрических тождеств. Основные тригонометрические тождества: их формулировки и вывод

Примеры тождеств:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Например,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Для того, чтоб это сделать можно:

Преобразовывать только правую или только левую часть.
Преобразовывать обе части одновременно.
Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
Использовать любые математические формулы.

Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos{x}\)
Решение :

Пример . Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin⁡{t}}\) \(-\sin{⁡t}=1\) является тождеством.
Решение :

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)
Решение :

\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)		Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем .
\(1-tg^2 t=\)		Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\)
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)		Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) .
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sin⁡t}{\cos⁡t})^2\)		Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение :

\(\frac{\cos⁡2t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg(π+t)-1\)		Здесь будем преобразовывать обе части: - в левой: преобразуем \(\cos⁡2t\) по формуле двойного угла; - а в правой \(ctg(π+t)\) по .
\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Теперь работаем только с левой частью. В числителе воспользуемся , в знаменателе за скобку синус.
\(\frac{(\cos⁡t-\sin{t})(\cos⁡t+\sin{t})}{\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡{t})}\) \(=ctg\:t-1\)		Сократим дробь на \(\cos{⁡t}+\sin{⁡t}\).
\(\frac{\cos⁡t-\sin{t}}{\sin⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.
\(\frac{\cos⁡t}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\)		Первая дробь это , а вторая равна единице.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Вопрос: Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ: Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t}\) (попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(=\)\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) . Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.

Основные тригонометрические тождества.

secα читают: «секанс альфа». Это число, обратное косинусу альфа.

соsecα читают: «косеканс альфа». Это число, обратное синусу альфа.

Примеры. Упростить выражение:

а) 1 – sin 2 α; б) cos 2 α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα – cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;

е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

а) 1 – sin 2 α = cos 2 α по формуле 1) ;

б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α также применили формулу 1) ;

в) (1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Вначале мы применили формулу разности квадратов двух выражений: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а затем формулу 1) ;

г) sin 2 αcosα – cosα. Вынесем общий множитель за скобки.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вы, конечно, уже заметили, что так как 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Точно так же, если 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

д ) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

е ) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имеем: квадрат выражения sin 2 α плюс удвоенное произведение sin 2 α на cos 2 α и плюс квадрат второго выражения cos 2 α. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далее применим формулу 1) . Получим: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Применили формулу 1) , а затем формулу 2) .

Запомните: tg α ∙ cos α = sin α.

Аналогично, используя формулу 3) можно получить: ctg α ∙ sin α = cos α. Запомнить!

з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

и) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Мы вначале вынесли общий множитель за скобки, а содержимое скобок упростили по формуле 7).

Преобразовать выражение:

Мы применили формулу 7) и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2). У нас а = 1, b = tg 2 α.

Упростить:

Страница 1 из 1 1

Класс: 10

“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль

Тип урока: Урок формирования умений и навыков.

Урок общеметодологической направленности.

Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.

Цели урока:

дидактическая: научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.

развивающая:

воспитательная:

Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.

Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. (Презентация . Слайд 2 )

“Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.

Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. (Слайд 3)

(Слайд 4)

(Слайд 5)

Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Пётр и Степан.

После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)

(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):

1) Преобразовать, упростить А П и А с, т.е. привели к одному выражению

2) А П – А с = 0

Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .

Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?

То ждество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.

В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)

Тема урока: “Тригонометрические тождества”.

Цели: найти способы.

Двое работают у доски.

№ 2. Доказать тождество.

Тождество доказано.

№ 3. Доказать тождество:

1 способ:

2 способ:

Способы доказательства тождеств.

правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

Из правой части тождества вычитаем левую часть.

Из левой части тождества вычитают правую часть.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!

Решается № 87 (п. 3)

Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)

Какова была тема урока?

Какие способы доказательства тождеств вам известны?

1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой разности нулю.

Какие формулы при этом используются?

1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.

Рефлексия урока. (Слайд 11)

Продолжите фразы:

– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…

Домашнее задание. Глава VIII; §6; № 78(четные); № 80(2; 4); № 87(2; 4). (Слайд 12)

Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд 13)

В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Навигация по странице.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства и следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое .

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .