Поворот фигуры на 90. Что такое движения плоскости: параллельный перенос, поворот

Вращение - частный случай движения, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной. При вращении плоскости неподвижная точка называется центром вращения, при вращении пространства неподвижная прямая называется осью вращения. Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + y cos?,

где?- угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin?- y cos?.

Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол ѓї называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ЃЪMSM` равен ѓї.

Точка S называется центром поворота, а направленный угол ѓї - углом поворота. Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая - второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ.

Прежде всего докажем, что поворот плоскости сохраняет расстояние между точками. Для этого на плоскости возьмем две различные точки M и N. Обозначим через M` и N` их образы при повороте вокруг точки S на направленный угол ѓї. Рассмотрим треугольники SMN и SM`N`. В этих треугольниках стороны SM и SM`, SN и SN`, соответственно, равны.

Нетрудно убедиться и в том, что углы MSN и M`SN` этих треугольников тоже равны. А это значит, что равны и сами треугольники MSN и M`SN`. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков MN и M`N`. Таким образом, поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол является движением.

На плоскости рассмотрим поворот с центром в точке S и углом ѓї. Зададим ПДСК так, чтобы ее началом служила точка S, а координатные векторы i, j были единичны и взаимно перпендикулярны. Произвольно на плоскости возьмем точку М (х, у) с координатами х и у относительно ПДСК Sху. Под действием поворота эта точка перейдет в некоторую точку M`(x`, y`). Выразим координаты точки M` через координаты ее прообраза, угол ѓї и координаты центра поворота. В треугольнике SM`Mx` длина катета SMx` равна |х`|, а длина катета М`Мх` равна |у`|, а в треугольнике SMMx - SMx = |x|, MMx = |y|. Обозначим через ѓА направленный угол, который образует луч SM с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2.2). Тогда в ориентированном прямоугольном треугольнике Mx`SM` направленный угол ЃЪ Mx`SM` равен сумме направленных углов ѓї и ѓА, а длина гипотенузы SM` равна. С учетом этих соотношений получаем, что

Эти формулы являются формулами поворота плоскости вокруг начала координат на направленный угол ѓї. Используя эти формулы, можно показать, что поворот плоскости вокруг точки на заданный направленный угол обладает следующими свойствами.

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол прямая переходит в прямую, образующую с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

Доказательство. Пусть относительно системы координат Oxy прямая d определяется уравнением ax + by + c = 0, где. Зададим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Найдем уравнение образа прямой d при этом повороте. Для этого из формул (2.1.) выразим x и y через xЃЊ и yЃЊ получим формулы вида,

Чтобы получить уравнение образа прямой d в уравнении ax + by + c = 0 заменим х и у выражениями (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) и (? xЃЊ sinѓї + yЃЊcosѓї) . В результате получим уравнение вида. В левой части этого уравнения раскроем скобки и приведем его к виду

Поскольку

то уравнение (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 определяет на плоскости прямую.

• 2. При повороте вокруг данной точки на заданный направленный угол параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
• 3. Поворот плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

Доказательство. На плоскости зададим ПДСК Оху. Произвольно возьмем две точки и. Пусть точка M(x, y) делит отрезок М 1 М 2 в отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1. Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на направленный угол ѓї формулами (2.1.). Обозначим через, и MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) образы точек, и M (x, y) при этом повороте. Покажем, что поворот сохраняет простое отношение трех точек, и M (x, y) . Поскольку для координат точек, и M (x, y) справедливы соотношения

то для доказательства того факта, что точка MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) делит отрезок в том же самом отношении ѓЙ Ѓ‚ ?1 достаточно показать, что

Для этого в формулах

заменим на, на, на, на, на, на. В результате получим соотношения

Умножим первое - на cos? , а второе - на? sin? и сложим. В результате получим равенство. Теперь умножим обе части первого соотношения на sin? , а второго - на cos? и сложим. Получим равенство.

Итак, мы показали, что точка M? (x?, y?) делит отрезок в том же самом отношении? ? ?1, что и точка делит отрезок M 1 M 2 . А это значит, что поворот плоскости вокруг точки на заданный угол сохраняет простое отношение трех точек.

• 4. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол отрезок переходит в равный ему отрезок, луч - в луч, полуплоскость - в полуплоскость.
• 5. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол ортонормированный репер R переходит в ортонормированный R`.

При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

6. Композиция двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

7. Композиция двух поворотов плоскости есть поворот на направленный угол с центром в точке С такой, что, .

• 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол, есть поворот плоскости вокруг точки О.
• 9. Всякий поворот плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямая p, проходящая через центр О, а осью другой - прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

При решении задач, связанных с нахождением образов и прообразов геометрических фигур, заданных своими аналитическими условиями относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxy, при повороте плоскости вокруг точки на заданный направленный угол, целесообразно использовать формулы, задающие поворот с центром в произвольной точке S(х0, у0), отличной от начала координат. Для того, чтобы вывести эти формулы, воспользуемся тем, что поворот плоскости переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`, а всякую точку M с координатами (х, у) относительно репера R в точку M` с теми же самыми координатами, но относительно репера R`.

С другой стороны, точка M` относительно репера R` тоже имеет какие-то координаты. Обозначим их через x` и y`. Таким образом, на плоскости имеем две системы координат: одна из них определяется репером R, а другая - репером R`.

Первую из них назовем "старой", а вторую - "новой". В соответствии с этим "старыми" координатами точки M` будет являться упорядоченная пара чисел (x`, y`), а "новыми" координатами - упорядоченная пара чисел (х, у). Используя формулы, выражающие "старые" координаты точки через ее "новые" при переходе от одной системы координат к другой, получим формулы:

Поскольку точка является инвариантной точкой поворота, то ее координаты удовлетворяют следующим условиям:

Вычитая из обеих частей равенств (2.2.) соответствующие части соответствующих равенств (2.3.), получим формулы, которые выражают координаты образа M` точки M через координаты самой точки M:

Формулы (2.4) являются формулами поворота плоскости вокруг точки на заданный направленный угол.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

ФИО Любакова Мария Васильевна

Место работы МОУ “Средняя общеобразовательная школа №34” г. Рязани

Должность учитель

Предмет геометрия

Класс 9

Тема и номер урока в теме Движения, урок №3

Базовый учебник Геометрия. 7-9 классы. Л.С. Атанасян, В.Ф, Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Цель урока: Изучение новых видов движения и их свойств.

. Задачи:

- обучающие Познакомить учащихся с новыми видами движения

-развивающие Развивать способности учащихся к самостоятельной деятельности

воспитательные Воспитание целостного представления о естественно-математических дисциплинах, установление межпредметных связей; развитие навыков обобщения и анализа.

Тип урока урок объяснения нового материала

Формы работы учащихся практическая работа, работа с компьютерной моделью.

Необходимое техническое оборудование компьютерный класс с сетевым подключением, проектор

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

(с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

Организационный

Проверка готовности учащихся к уроку, создание условий для положительного настроя учащихся на дальнейшую деятельность

1 мин

Актуализация опорных знаний

1. Понятие движения. П2

На прошлом уроке мы познакомились с понятием отображения плоскости на себя и движением.

Вопросы классу :

Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

Какие виды отображений вы знаете?

Что такое движение плоскости?

В какую фигуру при движении отображается отрезок? треугольник?

Верно ли, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?

Выполните задание из модуля.

Отвечают на вопросы

Выполняют задание не повторение понятия движения в модуле.

5 мин

Объяснение нового материала.

2. Параллельный перенос.

Сегодня мы познакомимся с ещё двумя видами движения. Они называются Параллельный перенос и поворот (Сейчас вы прослушаете рассказ об этих видах движения.

Компьютерная лекция - перенос.

Параллельный перенос на вектор - это отображение плоскости на себя при котором точке А ставится в соответствие такая точка А’, что
.

Свойства:

Является движением;

Сохраняет направление прямых и лучей,

Сохраняет ориентацию.

Изобразим в тетради отрезок АВ и вектор . Построим отрезок А 1 В 1 , который получится из отрезка АВ параллельным переносом на вектор .

Где в математике мы уже встречались с параллельным переносом? – при построении графиков функций (слайд). Попробуйте определить координаты вектора переноса?

Записывают тему в тетради и на доске. Слушают лекцию После прослушивания записывают название движения и свойства, рисуют чертёж.

Рисуют в тетради чертёж.

Рассматривают слайд, отвечают на вопрос.

15 мин

3. Поворот

Продолжение лекции – поворот.

Записываем в тетради определение и рисуем чертёж c проектора:

Поворот плоскости вокруг центра О на угол  – отражение плоскости на себя, при котором О→О, М→М 1 и ОМ=ОМ 1 ,  МОМ 1 = .

Продолжение лекции

Свойство: поворот является движением.

Поворот также можно наблюдать при построении графиков функций (пример на слайде).

Записывают в тетради название движения, определение и рисуем чертёж c экрана.

Записывают в тетради свойство.

Решение задач на построение фигур при движении.

А теперь выполним построение фигур, получаемых при переносе и повороте.

1) Начертите треугольник АВС и точку, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, получаемый из данного переносом на вектор АО.

2) начертите квадрат АВС D и постройте квадрат, который получается из данного поворотом вокруг точки А на 120 .

Выполняют задание в тетради.

7 мин

4. «Математический конструктор»

Задача на построение фигуры, получающейся из данной параллельным переносом на заданный вектор.

Задание на построение с помощью поворота.

Как видим, выполнять построение образов фигур при движении затруднительно на бумаге. Воспользуемся возможностями компьютера.

Дан шестиугольник ABCD

Даны квадрат и окружность с центром E ; точка К, принадлежащая квадрату и точка G , не принадлежащая квадрату. Построить на окружности точку N так, чтобы  KGN =120 .

Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC

а) поворотом вокруг точки А на угол 60 по часовой стрелке – закрасьте её в голубой цвет;

б) поворотом вокруг точки С на угол 40 против часовой стрелки - закрасьте её в жёлтый цвет

Выполняют работу на компьютере с помощью математического конструктора.

Для Задачи 1и 2 используются заготовки. Задача 3 выполняется полностью самостоятельно. Файлы сохраняются в сетевой папке.

12 мин

Подведение итогов

Просмотрим ваши результаты. Выборочно просматриваем по сети работы учеников.

Вопросы классу: Удобен ли способ построение компьютерных моделей рассмотренных видов движения? В чём его преимущество? В чём недостаток?

По результатам работы выставляются оценки.

Домашнее задание: п. 116, 117, №1170, 1163(б) (записано на обратной стороне доски.

Смотрят результаты работы одноклассников, высказывают собственное мнение о работах.

5 мин

Литература

«Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Приложение к плану-конспекту урока

Параллельный перенос и поворот

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Практический

Параллельный перенос.

Информационный

Анимация

http :// school - collection . edu . ru / catalog / res / c 25 d 57 b 1-5115-4 ba 1-91 d 9-1091 c 1616200/ view /

Поворот (вращение) - движение, при котором по крайней мере одна точка
плоскости (пространства) остаётся неподвижной.
В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот,
вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение
более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую
категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося
тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

10.

11.

«Поворот в геометрии» - Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки. Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки. Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

«Виды движения» - Центральная симметрия в системе координат. Отображение плоскости на себя. При движении плоскости точка А переходит в точку М. Построение. Параллельный перенос. Параллельный перенос на плоскости в системе координат. Задача. Построить образ данной трапеции. Построение симметричных точек и отрезков. Преобразование фигуры F.

«Движение и его виды» - Виды Лондона. Точки. Определение. Самостоятельная работа. Функция. Живая симметрия. Ось симметрии. Поворот. Начало движения. Ледяное царство. Лондонские часы «Биг Бен». Фигура. Отображение плоскости на себя. Движение. Московские школьники. Параллельный перенос. Общие сведения. Процесс движения. Треугольник.

«Виды движения тел» - Октаэдр. Правильный тетраэдр. Зеркальная симметрия. Грань. Центр закрашенной грани. Центральная симметрия. Осевая симметрия. Сколько существует различных движений. Вершины. Назовите движение. Движение. В кубе закрасили одну грань.

«Основные виды движений» - Фигуры, содержащие ось симметрии. Фигуры с двумя осями симметрии. Осевая симметрия. Фигуры с центральной симметрией. Параллельный перенос. Зеркальная симметрия. Отображение пространства на себя. Движения в пространстве. Фигуры более чем с двумя осями симметрии. Фигуры, обладающие центральной симметрией.

«Понятие движения в геометрии» - Тема исследования. Симметрия относительно прямой. Движение в курсе алгебры. Симметрия в архитектуре. Выделяют следующие свойства движения. Красота и гармония тесно связаны с симметрией. Поворот и параллельный перенос. Симметрия. Движение в геометрии, алгебре и окружающем нас мире. Большинство растений и животных симметричны.

Всего в теме 19 презентаций