Презентация на тему предел функции в точке. Пределы функций Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

Цели урока:

Образовательные:
- ввести понятие предела числа, предела функции;
- дать понятия о видах неопределенности;
- научиться вычислять пределы функции;
- систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.
Развивающие:
- уметь применять полученные знания для вычисления пределов.
- развивать математическое мышление.
Воспитательная: воспитать интерес к математике и к дисциплинам умственного труда.

Тип урока: первый урок

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Необходимое оборудование: интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями.

План урока

1. Организационный момент (3 мин.)
2. Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения. (12 мин.)
3. Вычисление пределов функции (10 мин.)
4. Самостоятельные упражнения (15 мин.)
5. Подведение итогов урока (2 мин.)
6. Домашнее задание (3 мин.)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Приветствие учителя, отметить отсутствующих, проверить подготовку к уроку. Сообщить тему и цель урока. В дальнейшем все задания выводятся на интерактивную доску.

2. Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения.

Предел функции (предельное значение функции ) в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом .

Вычислим предел:
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.

Примеры : вычислите пределы

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).

Вычислим значение функции в точке x 0 = 3 и значение его предела в этой точке.

Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x 0 = 3.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основные виды неопределенностей:

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Пример : вычислим предел.
Разложим числитель на множители

3. Вычисление пределов функции

Пример 1 . Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность:

4. Самостоятельные упражнения

Вычислите пределы:

5. Подведение итогов урока

Данный урок первый

В данном проекте рассматривался наряду с теоретическим материалом и практический. В практическом применении рассмотрели всевозможные способы вычисления пределов. Изучение второго раздела высшей математики уже вызывает большой интерес, так как в прошлом году рассматривали тему «Матрицы. Применение свойств матрицы к решению систем уравнений», которая была простой, хотя бы по той причине, что получаемый результат был контролируемым. Здесь такого контроля нет. Изучение Разделов высшей математики дает свой положительный результат. Занятия по данному курсу принесли свои результаты: - изучен большой объем теоретического и практического материала; - выработано умение выбирать способ вычисления предела; - отработано грамотное использование каждого способа вычисления; - закреплено умение проектировать алгоритм задания. Мы будем продолжать изучение разделов высшей математики. Цель ее изучения состоит в том, что мы будем хорошо готовы к повторному изучению курса высшей математики.

Занимательная математика Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Урок на тему:

Что будем изучать:

Что такое Бесконечность?

Свойства.

Предел функции на бесконечности.

Ребята, давайте посмотрим, что такое предел функции на бесконечности?

А, что такое бесконечность?

Бесконечность - используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характекстика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечнсть, если ее безгранично продолжать влево или вправо(вних или вверх).

Предел функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности. Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности: Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч , и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Предел функции на минус бесконечности.

Предел функции на бесконечности. Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Предел функции на бесконечности.

Тогда принято записывать как:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:

Область определения – множество действительных чисел.
f(x)- непрерывная функция

Решение:

Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

Предел функции на бесконечности.

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Основные свойства.

Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x.

Ребята, вспомните предел числовой последовательности.

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Получим:

Ответ:

Предел функции на бесконечности.

Решение.

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Предел функции на бесконечности.

Пример. Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

Предел функции на бесконечности.

Задачи для самостоятельного решения.

Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
Найти пределы:
Найти пределы:

Тема:

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. А. Дистервег

Постановка цели и задач урока:

изучить определение бесконечности;

Определение предела функции на бесконечности;
Определение предела функции на плюс бесконечности;
Определение предела функции на минус бесконечности;
Свойства непрерывных функций;

научиться вычислять несложные пределы функций на бесконечности.

Б. Больцано

Больца́но (Bolzano) Бернард (1781-1848), чешский математик и философ. Выступал против психологизма в логике; истинам логики приписывал идеальное объективное существование. Оказал влияние на

Э . Гуссерля . Ввел ряд важных понятий математического анализа , был предшественником Г. Кантора в исследовании бесконечных множеств .

Огюсте́н Луи́ Коши́ (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж - 23 мая 1857, Со, Франция) - великий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества

y =1 / x m

Существование

lim f(x) = b

x → ∞

эквивалентно наличию

горизонтальной асимптоты

у графика функции y = f(x)

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b и lim f(x) = b x →+∞ x→-∞ lim f(x) = b x→ ∞

Что будем изучать:

Что такое Бесконечность?

Предел функции на бесконечности

Предел функции на минус бесконечности .

Свойства .

Примеры.

Предел функции на бесконечности.

Бесконечность - используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность –сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Предел функции на бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Теперь давайте перейдем к пределу функции на бесконечности:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч , и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

или

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

Предел функции на бесконечности.

Пример.

Пример. Построить график функции y=f(x), такой что:

Область определения – множество действительных чисел.
f(x)- непрерывная функция

Решение:

Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

Предел функции на бесконечности.

Основные свойства.

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями:

1) Для любого натурального числа m справедливо следующее соотношение:

2) Если

то:

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Предел функции на бесконечности.

Пример 1.

Найти

Пример 2.

Пример 3.

Найти предел функции y=f(x), при x стремящимся к бесконечности .

Предел функции на бесконечности.

Пример 1.

Ответ:

Пример 2.

Ответ:

Пример 3.

Ответ:

Предел функции на бесконечности.

Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
Найти пределы:

Найти пределы:

Предел функции на бесконечности.

Задачи для самостоятельного решения .

Ответы:

Что означает существование предела функции

на бесконечности?

Какую асимптоту имеет график функции y=1/х 4 ?
Какие вы знаете правила для вычисления пределов

функции на бесконечности?

С какими формулами вычисления пределов

на бесконечности вы познакомились?

Как найти lim (5-3x3) / (6x3 +2)?

Что нового узнали на уроке?
Какую цель мы ставили в начале урока?
Наша цель достигнута?
Что нам помогло справиться с затруднением?
Какие знания нам пригодились при

выполнении заданий на уроке?

Как вы можете оценить свою работу?

Этапы

Теор-ие вопросы

Кол-во баллов

Фронтальная работа

Макс-ое

Работа у доски

баллов

Сам-ая работа

Поощрит-ые баллы

6 баллов

От 20 баллов и выше оценка – «5»

От 15 до 19 баллов оценка – «4»

От 10 до 14 баллов оценка – «3»

Домашнее задание

§31, п.1, стр.150-151 - учебник;

№ 669 (в), 670 (в), 671 (в), 672 (в),

673(в), 674(в), 676(в), 700 (г) – задачник.

Урок сегодня завершён,

Дружней вас не сыскать.

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут.

План I Понятие предела функции II Геометрический смысл предела III Бесконечно малые и большие функции и их свойства IV Вычисления пределов: 1) Некоторые наиболее употребительные пределы; 2) Пределы непрерывных функций; 3) Пределы сложных функций; 4) Неопределенности и методы их решений

0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" class="link_thumb"> 4 Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a| 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> 0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|" title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|"> title="Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|">

Основные теоремы о пределах Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде, где - бесконечно малая. Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела. Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке a имеет предел, то

Основные теоремы о пределах (продолжение) Теорема 4: Если функция f 1 (x) и f 2 (x) имеют приделы при, то при, имеет пределы также их сумма f 1 (x)+f 2 (x), произведение f 1 (x)*f 2 (x), и при условии частное f 1 (x)/f 2 (x), причем Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при, то,где n – натуральное число. Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак предела