Производная в нашей жизни презентация. Применение производной в науке и в жизни

Проектная деятельность на уроках математики

Тема проекта: Применение производной

Участники: Студенты 1 курса ГПОУ «СКСиС»

Основополагающий вопрос : Как измерить скорость скорости?

Проблемные вопросы

Кто работал над вопросом «дифференцирования»?

Как используется производная при исследовании функции?

Как производная помогает биологам, химикам?

Какие задачи в физике решаются с помощью производной?

Как производная применяется в экономике?

Какая связь между производной и географией?

Цель: Изучение применения производной для решения задач по началам анализа, физике, экономике, биологии, химии и географии; углубление и расширение знаний по теме «Производная».

Задачи:

Найти информацию об истории возникновения производной, изучить ее и систематизировать.

Исследование функций на монотонность, экстремумы, выпуклость-вогнутость с помощью производной.

Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производной

Узнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производной

Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.

Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.

Рассмотреть применение правил вычисления производной к решению практических задач с экономическим содержанием.

«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx – это ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд»

Г.В.Лейбниц

Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (экономика, физика, химия, биология и т.д.). Это доказывает актуальность данной работы. В работе над проектом обязательно соблюдаются определённые этапы деятельности студентов. Каждый из них вносит свой вклад в формирование личностных качеств.

Подготовительный этап

На этом этапе мы со студентами погружаемся в проект: происходит мотивация деятельности, определение темы, проблемы и целей. Тема проекта должна быть не только близка и интересна, но и доступна студенту. По времени этот этап осуществления проекта является самым коротким, но он очень важен для достижения ожидаемых результатов. Проводится беседа в ходе демонстрации вводной презентации; актуализация имеющихся знаний по теме, обсуждение общего плана проекта, планирование работы над проектом. Определение направления поиска информации в разных источниках.

Тема «Производная» - это один из важнейших разделов курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Но часто, студенты, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, не понимают для чего нужно его изучать. Они не видят практического применения этой темы. Поэтому данный проект «Применение производной» направлен на то, чтобы студенты выяснили, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах.

Этап планирования и организация деятельности.

На этом этапе мы определяем группы по направлениям деятельности, выделяем цели и задачи каждой группы. Предложены темы для выбора групп:

1 группа – «Исторические сведения дифференциального исчисления»;

2 группа – «Геометрический смысл производной»

4 группа - «Применение производной при решении физических задач»;

3 группа – «Нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах»

4 группа – «Применение производной в химии и биологии»

5 группа - «Применение производной при решении задач с географическим содержанием».

В группу вошли студенты с разными учебными возможностями. Каждая группа получила задание проанализировать выбранную тему, найти информацию. Планируется работа групп: распределяются обязанности между студентами, определяются источники информации, способы сбора и анализа информации, способы представления результатов деятельности (в нашем случае - презентации и буклеты.).

Этап поиска.

На этом этапе происходит поиск и сбор информации по своей выбранной теме, решение промежуточных задач. Анализ и обобщение собранного материала. Письменное изложение результатов и промежуточный контроль, со стороны преподавателя, полученных результатов. Были проведены консультации по программам PowerPoint , Publisher , Word , для студентов у которых возникали проблемы в практической работе для оформления результатов. Формулировка выводов.

Этап представления результатов, отчёт.

Этап презентации необходим для завершения работы, для анализа проделанного, самооценки и оценки со стороны, демонстрации результатов. Форма представления результатов в нашем проекте: устный отчёт с демонстрацией материалов оформленных в виде презентации, буклета, реферата.

Оценивание результатов, рефлексия

Одним из заключительных этапов работы над проектом является оценивание результатов, рефлексия. Проект защищается на уроке или на кружковом занятии.

В приложениях представлены работы студентов, подготовленные в рамках проектной деятельности в виде презентаций и буклета.

При оценивание работы студентов над проектом учитывается содержание (полнота раскрытия темы, изложение аспектов темы, изложение стратегии решения проблемы, логика изложения информации, использование различных ресурсов), степень самостоятельной работы группы(слаженная работа в группе, распределение ролей в группе, авторская оригинальность), оформление презентационного продукта (грамматика, подходящий словарь, отсутствие ошибок правописания и опечаток), защита (качество доклада, объем и глубина знаний по теме, культура речи, манера держаться перед аудиторией, ответы на вопросы).

Задача. Функция издержек имеет вид , а доход при производстве х единиц товара определяется следующим образом:

Определить оптимальное для производителя значение выпуска х0.

Решение:

Прибыль Р(х) = D (x ) - С(х), где D (x ) - доход от производства х единиц продукта.

Функция прибыли имеет вид:

Найдем производную функции прибыли:

Очевидно, Р"(х)> 0 при х < 100, так что наибольшее значение прибыли на отрезке есть Р (100) = 399 900. Найдем теперь наибольшее значение прибыли на интервале (100; + ∞). Имеется одна критическая точка х= 200. При этом Р"(х) > 0 при 100 < x < 200 и Р " (х) < 0 при x > 200, т. е. х= 200- максимальное значение Р(х) на интервале (100; + ∞).

Р (200) = 419 900 > Р (100), таким образом, x опт = 200 (ед.).

Задача. Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х . Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Решение:

Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

у= - х2+98х+200 . На промежутке .

DIV_ADBLOCK1021">

6 Применение производной в медицине

Применение дифференциального исчисления в медицине сводится к вычислению скорости. Например, скорости восстановительных реакций и скорости релаксационного процесса.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, изменении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. С помощью производной можно вычислить, при какой дозе лекарства реакция организма максимальна. С помощью второй производной можно определить условия, при которых скорость процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям

Задача Предположим, что х обозначает дозу назначенного лекарства, у - функция степени реакции. у=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?

Решение:

https://pandia.ru/text/80/244/images/image137_6.gif" width="116" height="24">. Тогда при ..gif" width="49" height="42"> - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии , так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее (или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Задача. В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону мг(t – сутки). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t =0 и через 7 суток.

Решение:

Скорость восстановления железа:

https://pandia.ru/text/80/244/images/image144_5.gif" width="33" height="18"> скорость восстановления равна 30 мг/сутки. Через 7 суток скорость восстановления равна 11,1 мг/сут:

Релаксационный процесс – это процесс возвращения системы к состоянию устойчивого равновесия, из которого она была выведена. Во многих случаях (особенно при однократном воздействии) этот процесс описывается экспоненциальным уравнением https://pandia.ru/text/80/244/images/image147_6.gif" width="13" height="15 src="> – постоянная времени. Ее физический смысл: - это время, в течение которого начальное отклонение Научно-исследовательская деятельность" href="/text/category/nauchno_issledovatelmzskaya_deyatelmznostmz/" rel="bookmark">научно-производственной деятельности . Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства , а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Пусть дана функция m=m(t), где m -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m . Отношение Δm/Δt - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt . Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Задача. Зависимость между массой х вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением https://pandia.ru/text/80/244/images/image151_5.gif" width="283" height="30 src=">

Задача. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: . Найти скорость растворения.

Решение:

Скорость растворение вычислим с помощью производной:

https://pandia.ru/text/80/244/images/image154_4.gif" width="139" height="42 src=">. Получите формулу для скорости роста численности популяции.

Решение:

Задача. Зависимость суточного удоя y в литрах от возраста коров х в годах определяется уравнением , где х>2 . Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Решение:

https://pandia.ru/text/80/244/images/image161_4.gif" width="77" height="23 src=">

(лет)- точка максимума, возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Заключение

В данной работе рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа - производная функции с точки зрения её практического применения. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин.

По всем вышеперечисленным областям применения производной подобрано и сведено в сборник около двухсот задач. Каждый раздел сборника начинается с краткого изложения теоретических основ, содержит типовые задачи с решениями и наборы упражнений для самостоятельного решения. Эти задачи расширяют кругозор и повышают интерес к производной. Они могут быть интересны и полезны студентам, увлекающимся математикой.

Литература

1. Богомолов задач по математике: учеб пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2005.

2. Богомолов: учеб. для ссузов / , – М.: Дрофа, 2010.

3. Богомолов. Дидактические задания: учеб. пособие для ссузов / , – М.: Дрофа, 2005.

4. Истомина: вопросы и ответы: учеб. пособие для вузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.

5. Лисичкин: учеб. пособие для техникумов / , - М.:Высш. шк.,1991.

6. Никольский математического анализа: учеб. пособие для студ. ссузов.- М.: Дрофа, 2012.

7. Омельченко: учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2007.

8. Филимонова: учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2013.

Министерство образования Саратовской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Энгельсский политехникум»

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗНИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ

Выполнила: Вербицкая Елена Вячеславовна

преподаватель математики ГАПОУ СО

«Энгельсский политехникум»

Введение

Роль математики в различных областях естествознания очень велика. Недаром говорят «Математика – царица наук, физика ее правая рука, химия – левая».

Предмет исследования – производная.

Ведущая цель - показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни.

Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Ключевой и тематический вопросы данного реферата:

1. История возникновения производной.

2. Зачем изучать производные функций?

3. Где используются производные?

4. Применение производных в физике, химии, биологии и других науках.

Я решила написать работу на тему «Применение производной в различных областях науки», потому что считаю эту тему очень интересной, полезной и актуальной.

В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.

Применение производной в различных областях науки

Из курса алгебры старших классов мы уже знаем, чтопроизводная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.

Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Физический смысл производной: производная функции y =f (x ) в точке x 0 – это скорость изменения функции f (x ) в точке x 0 .

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функция в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

Термин производная и современные обозначения y " , f " ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

Российский математик 19 века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

При изучении любой темы у учеников возникает вопрос: «Зачем нам это надо?» Если ответ удовлетворит любопытство, то можно говорить о заинтересованности учеников. Ответ для темы «Производная» можно получить, зная, где используются производные функций.

Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.

Производная в алгебре:

1. Касательная к графику функции

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x о, - это прямая, проходящая через точку (x о; f (x о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о).

y = f (x о) + f ′(x о) (x – x о)

2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

3. Поиск точек экстремума функции

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции

выпуклым , если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым , если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

5. Поиск точек изгиба функции

Производная в физике:

1. Скорость как производная пути

2. Ускорение как производная скорости a =

3. Скорость распада радиоактивных элементов = - λN

А так же в физике производную применяют для вычисления:

Скорости материальной точки

Мгновенной скорости как физический смысл производной

Мгновенное значение силы переменного тока

Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции

Максимальную мощность

Производная в химии:

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. V (t) = p ‘(t)

Производная в биологии:

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Производная в географии:

1. Некоторые значения в сейсмографии

2. Особенности электромагнитного поля земли

3. Радиоактивность ядерно- геоифзичексих показателей

4.Многие значения в экономической географии

5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.

у’= к у

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t) .Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует

Производная в электротехнике:

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Производная в экономике:

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:

1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?

Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.

Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

ВЫВОД: производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни

Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Список используемой литературы:

1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.

3. Баврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.

5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.

6. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.

7. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. – М.: Издательский центр «Академия», 2010

8. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016

Периодические источники:

Газеты и журналы: «Математика», «Открытый урок»

Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек.

Сведения из истории появления производной:Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам
придёт».
Термин «производная» - (франц. deriveе - позади, за) ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж. Он же ввёл
современные обозначения y " , f ‘.
обозначение lim –сокращение латинского слова limes (межа, граница). Термин «предел» ввёл И. Ньютон.
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную так:
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813)
французский математик и механик

Ньютон:

Что называется производной функции?

Физический смысл производной.

Геометрический смысл производной:

Производная в электротехнике:

Производная в химии:

Производная в географии:

Интеграл и его применение:

Немного из истории:

Что такое интеграл?

Методы интегрирования:

Применение интеграла:

Чайкин Семён, Майсак Кирилл, Залогина Анастасия, Шахзадова Анна

Данная разработка содержит презентацию по теме "Применение производной в химии и биологии". В ходе проектной деятельности была выдвинута гипотеза о том, что производная находит свое применение в этих областях науки. В ходе исследовательской работы было выяснено, какова роль производной в таких науках как химия и биология, где и при решении каких задач она находит свое применение. В результате проделанной работы пришли к выводу, что гипотеза действительно подтвердилась.

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Гипотеза:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Применение производной в химии и биологии Работу выполнили ученики 11В класса МБОУ СОШ №6: Чайкин Семен, Майсак Кирилл, Залогина Анастасия, Шахзадова Анна г. Ставрополь, 2014 год

Гипотеза:

И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ. Химия изучает закономерности протекания различных реакций Скоростью химической реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени. Применение производной в химии и биологии Определение скорости химической реакции

Зачем нужна производная в реакциях? Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Формула производной в химии Если C (t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v (t) химической реакции в момент времени t равна производной:

Определение скорости реакции Предел отношения приращённой функции к приращённому аргументу при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

Задача по химии: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: С (t) = t 2 /2 + 3 t –3 (моль) Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение: v (t) = С ‘(t) ; v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль\с.

Биологический смысл производной Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x (t). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда у + ∆у = x (t +∆ t) - новое значение численности популяции, соответствующее моменту t +∆ t , а ∆ y + x (t + ∆ t)- x (t) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя, получаем y ‘ = P (t) = x ‘ (t) , или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Пример Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c . Решение: P = x’(t) = 200t; P(1) = 200 (о/с). Ответ: 200 о/с.

Заключение Понятие производной очень важно в химии и в биологии, особенно при определении скорости течения реакции.

Вывод: Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.